در این رساله‏، از دیدگاه نظریه اثبات به بررسی سه منطق به نام‌های منطق وجهی$ ‎S5‎ $ ‎‎‏، منطق‎ چند‌‌ارزشی وجهی آبلیِ خطی و منطق توجیه احتمال می‌پردازیم. یک حساب ابر‌ــ‌رشته به نام ابر‌ـ‌ـ‌رشته‌ی ریشه‌دار برای منطق وجهی $ ‎S5‎ $ ارائه می‌نمائیم که از دیدگاه نظریه اثبات دارای ویژگی‌های مطلوبی باشد. ابر‌ــ‌رشته‌ی ریشه‌دار یک ابر‌ــ‌رشته به صورت ‎$‎‎$‎ \\Gamma\\Rightarrow\\Delta\\,||\\‎, ‎P_1\\Rightarrow Q_1\\,|\\ldots|\\‎, ‎P_n\\Rightarrow Q_n ‎$‎‎$‎ ‎‎است که $ \\Gamma $ و $\\Delta $ بیش‌مجموعه‌هایی از فرمول‌های دلخواه و $ P_i $‎ و$Q_i $‎ بیش‌مجموعه‌هایی از فرمول‌های اتمی هستند. $ \\Gamma\\Rightarrow\\Delta $‎ را ریشه می‌نامیم. با توجه به اینکه فقط در قسمت ریشه‏، فرمول‌ها دلخواه هستند و فرمول‌های موجود در بقیه قسمت‌ها اتمی هستند‏، پس قواعد اصلی فقط روی ریشه اعمال می‌شود. بنابراین این حساب رشته بسیار نزدیک به حساب رشته‌ی معمولی است. نشان می‌دهیم در این حساب‏، قواعد اصلی معکوس‌پذیر هستند و قواعد تضعیف و انقباض و همچنین قاعده‌ی برش پذیرفتنی هستند. در نهایت قضیه تمامیت را ثابت می‌کنیم. در سال $ 1989 $‎ منطق آبلی به عنوان منطقِ گروه‌ها‎ی‎ آبلیِ مشبکه‌‌ــ‌مرتب‎ ‎توسط پژوهشگران اصل‌بندی شد.‎ در سال $ 2018 $‎ جورج متکالف و همکارانش منطق چند‌ارزشی وجهی آبلی $ ‎\\rm‎ ‎K(A) $ را به عنوان کوچکترین توسیع وجهی ‎‎ منطق آبلی را ارائه دادند‏، یک حساب رشته برای بخش ضربی منطق وجهی آبلی معرفی کردند و ارائه‌ی یک حساب رشته برای منطق وجهی آبلی را به عنوان یک مسئله باز مطرح نمودند. در این رساله‏، یک منطق چند‌ارزشی وجهی آبلیِ خطی $ ‎\\rm ‎LK(A) $ را به عنوان توسیع از منطق $ \\rm K(A) $ ارائه می‌کنیم. در واقع‏، منطق$ \\rm LK(A) $ توسیعی از $ \\rm K(A) $ با شمای اصول $‎‎ \\Box(\\varphi\\vee\\psi)\\rightarrow(\\Box\\varphi\\vee\\Box\\psi)‎‎$‎‎ ‎و ‎$‎‎ (\\Box\\varphi\\wedge\\Box\\psi)\\rightarrow\\Box(\\varphi\\wedge\\psi)‎‎‎$‎‎‎ است. قضیه تمامیت را نسبت به ساختارهای جبری ثابت می‌کنیم. همچنین یک حساب ابر‌ــ‌رشته برای $ \\rm LK(A) $ که قاعده‌ی برش در آن پذیرفتنی ‎است معرفی می‌نمائیم. نشان می‌دهیم که قاعده‌ی برش در این حساب ابر‌ــ‌رشته پذیرفتنی است. در پایان‏، نشان می‌دهیم که اصول موضوعه و حساب رشته‌ی ارائه شده با هم در تناظر هستند. در نهایت‏، در فصل آخر این رساله‏، خانواده‌ای از منطق‌های توجیهِ احتمال‏ را به نحوی مطلوب اصل‌بندی می‌کنیم که ‎‎تأییدهای بیز‎ی‎‎ پدیدار شوند. از این‌رو‏، منطق توجیهِ بیزی که آن را با $ \\sf BJ $‎نشان می‌دهیم‏، معرفی می‌نماییم. نظریه‌ی بیز در علم احتمال به این مفهوم می‌پردازد که اگر احتمال پیشامدِ $ H $ به شرطِ پیشامدِ $ E $‎ بزرگتر از احتمال پیشامدِ $ H $‎ باشد، آن‌گاه گفته می‌شود که $ E $‎ فرضِ $ H $‎ را تأیید می‌کند. به بیانی دیگر‏، اگر $ P(H\\,|\\,E)> P(H) $‎ آن‌گاه $ E $‎ فرضِ $ H $‎ را تأیید می‌نماید. در منطق توجیه بیزی ‎از‎ فرمول‌هایی به صورت $ ‎{\\sf ‎CP}_{‎\\geq s‎}‎(A, B)‎ $‎ که بیان‌گرِ این است که احتمالِ شرطیِ $ ‎{\\sf P}(A\\,|\\,B)‎ $‎حداقل $s$‎‎ است و همچنین فرمول‌هایی به صورت $ ‎{\\sf ‎D‎}_{‎\\geq ‎r‎}‎(A, B)‎ $‎‎ که ‎‎بیان‌گرِ این است که درجه‌ی بیزی حداقل $ ‎r‎ $‎‎ است‏، به بیان دیگر یعنی $ ‎{\\sf P}(A\\,|\\, B)-{\\sf P}(A)‎ ‎\\geq ‎r‎‎ $‎‏، بهره برده‌ایم. در منطق $ \\sf BJ $‎ اصلی به صورت $ j_B:A\\leftrightarrow {\\sf D}_{>0}(A,B) $‎ داریم. این اصل بیان‌گر این است که ترم‌هایی به‌صورت $ j_B $‎، تأییدهای بیزی را نمایش می‌دهند.