بسیاری از نامساوی‌ها و تساوی‌ها در میدان اعداد مختلط دارای تعمیم‌هایی در جبر عملگرها می‌باشد که اکثراً بر مبنای مفاهیم یکنوایی عملگرها و یا خاصیت تحدب و تقعر آن‌ها گسترش می‌یابند. این نوع از نامساوی‌ها اغلب برای عملگرها روی فضای هیلبرت متناهی‌البعد ظاهر می‌شوند. تعداد دیگری از نتایج در مورد نامساوی‌های عملگری نیز از مفاهیم طیف و یا نامساوی‌های مقادیر منفرد حاصل می‌شوند. این مفاهیم مطالعه‌ی آن دسته از نامساوی‌ها در فضای نامتناهی‌البعد را میسر می‌نماید. بر همین اساس در این نوشتار برای جبر فون نویمن نیمه متناهی ‎$ ‎‎\\mathcal{M}‎‎ $‎‏، نامساوی‌های یانگ‏ و میانگین هینز را مورد مطالعه قرار داده و نتایج حاصل برای عملگرهای ‎$ ‎\\tau‎ $‎‎-اندازه‌پذیر را ارائه می‌دهیم. همچنین بهبود و تظریف این نامساوی‌ها را برای فضای ناجابه‌جایی ‎$ ‎L_p(‎\\mathcal{M})‎‎ $‎ بررسی کرده و نتایج جدیدی را از جمله \\begin{equation*}‎ ‎\\left\\| a^\\nu z b^{1-\\nu} \\right\\| _p \\leq‎ ‎\\left\\| a z \\right\\| _p ^\\nu \\cdot \\left\\| z b \\right\\| _p^{1-\\nu} \\leq \\nu \\| az \\|_p‎ + ‎(1-\\nu) \\| zb \\|_p ‎,‎ ‎\\end{equation*}‎ و ‎$$ \\parallel a^\\nu z b^{1-\\nu}‎ + ‎a^{1-\\nu} z b^{\\nu} \\parallel_p \\leq \\parallel az‎ + ‎zb \\parallel_p‎ ,‎$$‎‎‎ و‎‎ نیز ‎$$ \\parallel a^\\nu z b^{1-\\nu}‎ - ‎a^{1-\\nu} z b^\\nu \\parallel_p \\leq |2\\nu‎ -‎1| \\parallel az‎ - ‎zb \\parallel_p‎,‎$$‎ بیان می‌نماییم.‎‎‎‎‎‎ قابل ذکر است که همواره بررسی حالت تساوی نیز حائز اهمیت بوده و در این نوشتار نیز مطالعه و بررسی می‌گردد.