در این رساله برخی از نتایج مربوط به نظریه گروه‌های فشرده موضعی را به گروه کوانتومی فشرده موضعی ${\\   G}$ بسط می‌دهیم. در این رساله، جبر پیچشی ${\\mathcal T}_{\\triangleright}(\\mathbb{G})$ مورد توجه بیشتری قرار خواهد گرفت، که در آن ${\\mathcal T}_{\\triangleright}(\\mathbb{G})$ فضای عملگرهای رده اثر روی فضای هیلبرت $L^2({\\   G})$ است که با استفاده از عملگر یکانی راست روی ${\\   G}$ به یک جبر باناخ تبدیل می‌شود. در ابتدا وجود میانگین‌های پایا روی زیرفضاهای درونگرای متناظر با جبرهای پیچشی را مورد مطالعه و مشخصه‌سازی قرار می‌دهیم. به عنوان مثال، برای گروه کوانتومی هم-میانگن‌پذیر ${\\   G}$ نشان میدهیم $\\mathrm{WAP}(L^1({\\   G}))$ یک میانگین پایا دارد اگر و تنها اگر $\\mathrm{WAP}(M({\\   G}))$ یک میانگین پایا داشته باشد. در ادامه وجود ضربگرهای چپ یا راست فشرده(ضعیف) روی ${\\mathcal T}_{\\triangleright}(\\mathbb{G})$ یا روی دوگان دوم آن را توسط برخی از خواص ${\\   G}$ مانند فشردگی یا متناهی بودن مشخصه‌سازی خواهیم کرد. در نهایت، برای دسته نسبتا بزرگی از جبرهای باناخ در آنالیز هارمونیک که شامل جبر پیچشی ${\\mathcal T}_{\\triangleright}(\\mathbb{G}_{s})$ نیز خواهد شد، به بررسی صحت نتایج و دستاوردهای موجود برای مشتق‌ها و مشتق‌های تعمیم‌یافته برروی این دسته از جبرهای باناخ می‌پردازیم. به عنوان مثال، نشان می‌دهیم که خاصیت سینگر-ورمر و قضیه دوم پوسنر برای مشتق‌ها و مشتق‌های تعمیم‌یافته‌ای که بر این دسته از جبرهای باناخ تعریف شده‌اند برقرار است.