در این رساله به حل عددی برخی معادلات (دستگاه معادلات) با مشتقات جزئی از جمله معادلات برگرز، زوج معادلات برگرز، زوج معادلات ‎\\lr{KdV}‎ از نوع ایتو، معادله تلگراف کسری و معادله واکنش-انتشار ‎$m$-‎مؤلفه‌ای، به کمک روش گالرکین ناپیوسته ترکیب‌شده می‌پردازیم. همچنین، با بیان چند قضیه، پایداری (با انتخاب شارها و پارامترهای پایداری مناسب) و همگرائی (برای مسائل خطی) روش‌های ‎\\lr{HDG}‎ پیشنهادی را نیز بررسی می‌کنیم. پس از آن، با معرفی روش ‎\\lr{DNN-HDG}‎ به حل عددی برخی معادلات بیضوی و هذلولوی می‌پردازیم. روش عددی ‎\\lr{DNN-HDG}‎ که با دو رویکرد متفاوت ارائه می‌شود، با ادغام شبکه‌های عصبی عمیق و روش‌ کلاسیک ‎\\lr{HDG}‎ به ‌دست ‌آمده است و ضمن پوشش نقاط ضعف هر دو روش، مزایای هر دو را به خوبی حفظ می‌کند. با ارائه چند مثال‌ عددی، عملکرد روش‌های پیشنهادی در حل مسائل پرچالشی همچون مدلسازی موج‌های سولیتونی، موج‌های ضربه‌ای، مسائل بدون جواب تحلیلی و مختل‌شده را مورد بحث و بررسی قرار می‌دهیم.